Důkazy
Profesor na přednášce zformuloval větu a řekl: "Důkaz je zřejmý." Pak se na minutku zamyslel, opustil posluchárnu a po dvaceti minutách se vrátil štastný: "Ano, důkaz je zřejmý!"
- "Pane profesore, já mám protipříklad."
- "To nevadí, já mám dva důkazy."
- "To nevadí, já mám dva důkazy."
Zobrazit s podobnými Štítky: Důkazy
Mladý matematik přednáší na konferenci o své nové teorii. Když dokončí jeden z důkazů, přeruší ho někdo z publika: "Ten důkaz je chybný, našel jsem dva protipříklady." Mladík odvětí: "To nevadí. Tuto větu mohu dokázat třemi dalšími způsoby."
Zobrazit s podobnými Štítky: Důkazy
Profesor Štěpánek se při důkazu dokázal natolik rozohnit, že všechny jeho vlasy tvořily ortogonální bázi.
Nejkrásnější chvíle v životě matematika jsou ty po dokončení důkazu, avšak předtím, než objeví chybu.
Zobrazit Štítky: Matematika, Důkazy
Věta: Bůh není všemocný.
Důkaz sporem: Kdyby byl Bůh všemocný, tak sestrojí kámen, který neunese. Protože ho neunese, není všemocný.
Důkaz sporem: Kdyby byl Bůh všemocný, tak sestrojí kámen, který neunese. Protože ho neunese, není všemocný.
Theorem: A cat has nine tails.
Proof: No cat has eight tails. A cat has one tail more than no cat. Therefore, a cat has nine tails.
Proof: No cat has eight tails. A cat has one tail more than no cat. Therefore, a cat has nine tails.
Věta: Každé přirozené číslo lze v češtině vyjádřit pomocí třiceti slabik.
Důkaz: Předpokládejme opak. Pak musí existovat "nejmenší přirozené číslo, které nelze vyjádřit pomocí třiceti slabik." Pozorný čtenář si jistě všiml, že jsme ve výrazu v uvozovkách potřebovali k jeho vyjádření právě 24 slabik. To je spor a důkaz sporem je hotov.
Důkaz: Předpokládejme opak. Pak musí existovat "nejmenší přirozené číslo, které nelze vyjádřit pomocí třiceti slabik." Pozorný čtenář si jistě všiml, že jsme ve výrazu v uvozovkách potřebovali k jeho vyjádření právě 24 slabik. To je spor a důkaz sporem je hotov.
Věta: Všechna kladná celá čísla jsou zajímavá.
Důkaz: Předpokládejme opak. Pak musí existovat nejmenší nezajímavé kladné celé číslo. Ale to je přece docela zajímavé! Spor.
Důkaz: Předpokládejme opak. Pak musí existovat nejmenší nezajímavé kladné celé číslo. Ale to je přece docela zajímavé! Spor.
Zobrazit s podobnými Štítky: Důkazy
Věta: Všechna kladná celá čísla jsou nudná.
Důkaz: Předpokládejme opak. Pak musí existovat nejmenší nenudné kladné celé číslo. Koho to zajímá!
Důkaz: Předpokládejme opak. Pak musí existovat nejmenší nenudné kladné celé číslo. Koho to zajímá!
Zobrazit s podobnými Štítky: Důkazy
Věta: Čím méně znáš, tím více vyděláš.
Důkaz:
Důkaz:
- Fakt 1: Znalosti jsou Síla.
- Fakt 2: Čas jsou Peníze.
- Z fyziky víme: Síla = Práce / Čas.
- A protože Znalosti = Síla a Čas = Peníze, je tudy zřejmé, že Znalosti = Práce / Peníze.
- Vyřešíme vzhledem k Peníze a dostaneme: Peníze = Práce / Znalosti
- Tedy, když Znalosti se blíží k nule, Peníze se blíží k nekonečnu. Výsledek nezávisí na velikosti Práce. Důkaz je hotov.
Věta: Holky jsou zlo.
Důkaz:
Důkaz:
- Holky vyžadují čas a peníze: holky = čas × peníze
- Jak víme, čas jsou peníze: čas = peníze
- Po dosazení: holky = peníze × peníze = peníze2
- Peníze jsou kořenem všeho zla: peníze = √zlo
- Po dosazení: holky = (√zlo)2
- Zjednodušíme na: holky = zlo
Věta: Všechna kladná celá čísla jsou si rovna.
Důkaz: Stačí ukázat, že pro libovolná dvě kladná celá čísla A a B platí A = B. Dále, stačí dokázat, že pro všechna N > 0 platí: pokud kladná celá čísla A a B splňují (MAX(A, B) = N), pak A = B.
Důkaz indukcí: Pokud N = 1, pak A a B, mají-li to být kladná celá čísla, musí být rovny 1. Tedy A = B. Předpokládejme, že věta platí pro nějakou hodnotu k. Zvolíme A a B tak, že platí MAX(A, B) = k+1. Pak MAX((A-1), (B-1)) = k a tedy (A-1) = (B-1). Následkem toho A = B.
Důkaz: Stačí ukázat, že pro libovolná dvě kladná celá čísla A a B platí A = B. Dále, stačí dokázat, že pro všechna N > 0 platí: pokud kladná celá čísla A a B splňují (MAX(A, B) = N), pak A = B.
Důkaz indukcí: Pokud N = 1, pak A a B, mají-li to být kladná celá čísla, musí být rovny 1. Tedy A = B. Předpokládejme, že věta platí pro nějakou hodnotu k. Zvolíme A a B tak, že platí MAX(A, B) = k+1. Pak MAX((A-1), (B-1)) = k a tedy (A-1) = (B-1). Následkem toho A = B.
Věta: Všechna čísla jsou rovna nule.
Důkaz: Předpokládejme, že a = b. Potom
Důkaz: Předpokládejme, že a = b. Potom
- a = b
- a2 = a × b
- a2 - b2 = a × b - b2
- (a + b)(a - b) = b(a - b)
- a + b = b
- a = 0
Hypotéza: Všechna lichá čísla jsou prvočísla.
Důkaz:
Důkaz:
- Pokud existuje důkaz, je hypotéza pravdivá.
- Důkaz existuje, právě ho čtete.
- Z 1 a 2 vyplývá, že všechna lichá čísla jsou prvočísla.
Věta: Pro každou konečnou množinu žen platí, že je-li v ní jedna modrooká, jsou modrooké všechny.
Důkaz indukcí na počtu prvků n:
Důkaz indukcí na počtu prvků n:
- Pro n = 1 je to zřejmé. Předpokládejme, že to platí pro n = k.
- Mějme skupinu k+1 žen a bez újmy na obecnosti předpokládejme, že první z nich je modrooká. Modrooké ženy budeme značit symbolem * a ty ostatní symbolem @. Máme tedy množinu žen {*,@,...,@} o k+1 prvích.
- Z prvních k prvků této množiny vytvoříme podmnožinu. Tato podmnožina je množinou k žen, z nichž jedna je modrooká. Podle hypotézy jsou všechny ženy v této množině modrooké.
- Máme tedy množinu {*,...,*,@} o k+1 prvích. Nyní vytvoříme podmnožinu z posledních k prvků této množiny. Dostaneme množinu k žen, z nichž alespoň jedna je modrooká, tudíž jsou modrooké všechny.
- Tedy všech k+1 žen je modrookých. Indukcí získáme, že pro nekonečnou množinu žen, z nichž jedna je modrooká, platí, že všechny jsou modrooké. QED.
Věta: Krokodýl je delší než širší.
Důkaz:
Lemma 1 - Krokodýl je víc dlouhý než zelený:
Podívejme se na krokodýla. Je dlouhý na spodní i horní straně, ale zelený je jenom na horní. Krokodýl je tedy víc dlouhý než zelený.
Lemma 2 - Krokodýl je víc zelený než široký:
Podívejme se na krokodýla. Je zelený podélně i příčně, ale široký je jenom příčně. Krokodýl je tedy víc zelený než široký.
Podle lemma 1 a lemma 2 usoudíme, že krokodýl je delší než širší.
Důkaz:
Lemma 1 - Krokodýl je víc dlouhý než zelený:
Podívejme se na krokodýla. Je dlouhý na spodní i horní straně, ale zelený je jenom na horní. Krokodýl je tedy víc dlouhý než zelený.
Lemma 2 - Krokodýl je víc zelený než široký:
Podívejme se na krokodýla. Je zelený podélně i příčně, ale široký je jenom příčně. Krokodýl je tedy víc zelený než široký.
Podle lemma 1 a lemma 2 usoudíme, že krokodýl je delší než širší.
"Toto je důkaz na jeden řádek... pokud začneme psát dostatečně daleko vlevo."